谱办法(Spectral Method)是配点法(Collocation Method)的一种。正常来说，配点法蕴含有限元办法(Finite Element)和谱办法(Spectral Method)。配点法的正常思路是：选与适宜的函数基底，那些函数基底的导数都是已知的，求得叠加系数，将那些函数基底的组竞争为边界条件下常微分方程的近似解。此中，有限元办法选用的函数基底是局域的(localized support)，即那些基底往往只正在部分几多个点处非零，比如B-样条；而谱办法选用的函数基底是全域的(global support)，即那些基底正在整个真数域上大局部非零，比如多项式和三角函数。
应付一个线性常系数的常微分方程，正常都可以求得解析解的；但是应付线性但很是系数的情形，解析解不易求。有的可以用非凡的换元办法（比如欧拉方程），有的必须用泰勒级数大概洛朗级数开展的办法求解，那种解正常也不会是初等函数，而长短凡函数/无穷级数那一类。不过只有是线性方程，运用谱办法求解总能化成线性方程组，因而出格简略。详细地说：
1. 线性常微分方程边值问题+以多项式为基底的谱办法
常微分方程：$f(y^{(m)}, y^{(m-1)}, ..., y^{(3)}, y'', y',y, t)=0$ ，此中 $f$ 对于 $y$ 的任意阶的导数都是线性的，即所有导数（蕴含零阶的本函数）的幂次都是1，所有项的次数也都是1。像那样的线性模式，咱们大概也可以写成：$A_m(t)y^{(m)}+A_{m-1}(t)y^{(m-1)}+...+A_2(t)y''+A_1(t)y'+A_0(t)y+A(t)=0$ 。
假如选择正在两个高下界之中插入k个点停行配点，则总计配点个数为k+2=n，咱们或许用那n个点的信息孕育发作n个方程，此时可以确定含有n个未定参数的解析式，因而设：$\hat{y}(t)=V_0+V_1t+V_2t^2+...+V_{n-1}t^{n-1}$ ，并用它做为 $y(t)$ 的预计值。那样一来，$\hat{y}(t)$ 的任意阶导数总是很容易求得的，它便是： $$\hat{y}^{(k)}(t)=\sum\limits_{i\geq k}^{n-1}P_i^kV_it^{i-k}=\sum\limits_{i\geq k}^{n-1}\frac{i!}{(i-k)!}V_it^{i-k}$$ 以上仅仅是一个最正常的表达式，事真上正在运用历程中很是高阶的导数是很难得的（至少正在绝大大都物理问题中），最高阶为2是最为常见的，那些情形下 $y(t)$ 的导数的表达式都很简略。
如今，咱们领有了可以求任意阶导数的预计值 $\hat{y}(t)$ 的表达式，此中有n个未定参数 $V_i$ ，咱们设高下界划分是 $t_1$ 和 $t_n$ ，而后可以正在区间内选与n-2个点 $t_2, t_3, ..., t_{n-1}$ 。咱们将用那n个点（配点）和 预计值$\hat{y}(t)$ 的表达式，将线性的微分方程写成一个线性的代数方程。咱们记：
$$f(y^{(m)}, ... y'', y', y, t)=0\quad \Rightarrow \quad A_m(t)\hat{y}^{(m)}(t)+...A_2(t)\hat{y}''(t)+A_1(t)\hat{y}'(t)+A_0(t)\hat{y}(t)+A(t)=\sum\limits_{k=0}^mA_k(t)\hat{y}^{(k)}(t)+A(t)=0$$ 只须要正在n个配点上划分把 $t=t_i$ 和 $\hat{y}^{(m)}(t)$ 的导数模式带入方程就可以了。咱们获得：
$$\sum\limits_{k=0}^mA_k(t)\hat{y}^{(k)}(t)+A(t)=\sum\limits_{k=0}^mA_k(t)\sum\limits_{j\geq k}^{n-1}P_j^kV_jt^{j-k}=\sum\limits_{k=0}^m\sum\limits_{j\geq k}^{n-1}V_jA_k(t)P_j^kt^{j-k}=0$$ 代入n个配点$t_i$ 就获得了对于 $V_j$ 的线性方程组：$$\sum\limits_{k=0}^m\sum\limits_{j\geq k}^{n-1}A_k(t_i)P_j^kt_i^{j-k}V_j=0$$ 那里除了 $V_j$ 以外，其余所无数据都是已知质（大概可以间接求出）；同时对于 $V_j$ 均为一次干系，为对于 $V_j$ 的线性方程组。操做解线性方程组的办法求得 $V_j$ 后，就可以获得对于t的微分方程解的预计值表达式：$$\hat{y}(t)=\sum\limits_{k=0}^nV_kt^k$$
虽然，谱办法次要用于求解偏微分方程。
